Родился 21 декабря 1937 года в Ленинграде, в семье кинорежиссёра А. М. Файнциммера. При поступлении во ВГИК сменил фамилию отца на фамилию матери — Квинихидзе. В 1962 году окончил режиссёрский факультет ВГИКа (мастерская И. П. Копалина, Г. М. Козинцева).
В 1960—1963 годах работал на Центральной и Ленинградской студиях документальных фильмов, снимал хроникальные фильмы.
В 1963 году Леонид Квинихидзе стал режиссёром киностудии «Ленфильм», а с 1977 года работал на «Мосфильме».
В художественном кино режиссёр дебютировал в 1965 году фильмом «Первый посетитель». В 1973 году экранизировал роман А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» (телесериал «Крах инженера Гарина»).
Наибольшую известность режиссёру принесли его музыкальные фильмы: «Соломенная шляпка», «Небесные ласточки», «31 июня», «Шляпа», «Мэри Поппинс, до свидания!».
В 1992 году поставил фильм «Белые ночи», где перенёс действие повести Достоевского в наше время.
Интервью Леонида Квинихидзе в Петербурге, 2008
Квинихидзе был главным режиссёром и художественным руководителем Московского государственного театра «Мюзик-холл», режиссёром Одесского театра музыкальной комедии, а также художественным руководителем и главным режиссёром Крымского УАМТ.
С 2006 по 2008 год — главный режиссёр Санкт-Петербургского государственного музыкального театра «Карамболь».
Театральные работы
1999 — «Поживем — увидим!» — музыкальный спектакль, Одесский академический театр музыкальной комедии
2000—2002 — художественный руководитель и главный режиссёр Крымского академического украинского музыкального театра.
2005 — Режиссёр Новосибирского театра музыкальной комедии
2006—2008 — главный режиссёр Санкт-Петербургского государственного музыкального театра «Карамболь».[4]
Отзывы
« Мюзикл о Мэри Поппинс состоялся. „Роман“ театра с режиссёром Леонидом Квинихидзе преобразил знакомые черты, придав им мюзик-холльную авантажность и лоск. Спектакль получился воздушным, легким, искрящимся и простым».